Épongez soigneusement les morceaux de poulet avec du papier absorbant. Salez et poivrez généreusement chaque face. Dans une grande cocotte en fonte émaillée, faites chauffer le beurre et l'huile d'olive à feu moyen-vif. Déposez les morceaux de poulet côté peau en premier et faites-les dorer pendant 7 à 8 minutes sans les bouger pour obtenir une peau bien croustillante et ambrée. Retournez-les et colorez l'autre face 4 minutes. Réservez le poulet sur une assiette.

Dans les sucs de cuisson de la cocotte, ajoutez les échalotes ciselées et faites-les suer 3 minutes à feu doux jusqu'à translucidité. Ajoutez l'ail et la farine en pluie, puis mélangez pendant 1 minute à la cuillère en bois pour torréfier légèrement le roux.

Augmentez le feu et déglacez la cocotte avec le vin blanc sec. Grattez vigoureusement le fond avec la cuillère pour dissoudre tous les sucs caramélisés. Laissez réduire de moitié pendant 4 à 5 minutes pour évaporer l'alcool et concentrer les arômes.

Versez le bouillon de volaille chaud, ajoutez les branches de thym et remettez les morceaux de poulet dans la cocotte avec leur jus écoulé. Couvrez la cocotte et laissez mijoter à feu doux pendant 25 minutes.

Pendant ce temps, nettoyez les champignons avec un pinceau humide et coupez les plus gros en morceaux. Dans une poêle séparée avec une noisette de beurre à feu très vif, faites sauter les champignons 5 à 6 minutes pour faire évaporer leur eau de végétation et dorer leurs arômes.

Retirez les morceaux de poulet de la cocotte et gardez-les au chaud sous un papier d'aluminium. Incorporez la crème fraîche d'Isigny et la moutarde dans la cocotte. Fouettez doucement et laissez frémir 4 à 5 minutes jusqu'à ce que la sauce nappe généreusement la cuillère. Ajoutez les champignons poêlés et l'estragon frais ciselé. Replacez le poulet dans la sauce pour 3 minutes de réchauffage final. Servez fumant !